Diciembre

PRIMERA SEMANA ( 30 de noviembre - 6 de diciembre )

Series de Potencias

     Una serie de potencia se expresa generalmente así:

Propiedades:

     Sea para cada n y suponiendo que 

     entonces se deducen dos posibilidades:

     Si 0<R<1 , entonces   es convergente.

     Si R>1 , entonces   es divergente.

     A continuación se presenta un ejemplo de determinación del radio de 

     convergencia de la siguiente serie: 

SUCESIONES Y SERIES DE VARIABLE COMPLEJA

Serie de Taylor 

     Si una función es analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor

     compleja, la cual es similar a la serie de funciones reales.

Propiedad 1

     Si f es analítica en Zo entonces  f tiene un desarrollo mediante una serie 

     de Taylor que se representa por: 

Para todo z elemento de los complejos

SEGUNDA SEMANA ( 7 de diciembre - 13 de diciembre )

Serie de Maclaurin

     La serie de Maclaurin se obtiene como una particularización de la serie de Taylor, así:

     El desarrollo de la serie de Taylor se realiza mediante la generalización de derivadas

     sucesivas de la función evaluadas en el punto Zo, como por ejemplo:

     También se puede realizar el desarrollo de la serie de Taylor mediante otros procedimientos:

Por sustitución

     En este proceso se reemplaza una parte de la función por una variable, por ejemplo:

Por división

     Este proceso se aplica fundamentalmente cuando la función presenta fracciones y 

     consiste en reducirla a fracciones parciales más sencillas para hallar la forma 

     general de la serie de Taylor a partir de una sustitución de variables.

Por derivación

     Este proceso consiste en derivar una función asociada a la función que se desea
     expresar como serie de Taylor, así:

TERCERA SEMANA ( 14 de diciembre - 20 de diciembre )

Por integración

     Consiste en llegar a la serie de Taylor mediante la integración
     de una función asociada a la que se desea expresar como serie, por ejemplo:

     Los ejemplos presentados presentan series de Maclaurin puesto que se analizaron en Zo=0.

Serie de Laurent

     Sea el caso de que f(z) no es analítica en Zo, entonces la serie no admite desarrollo
     mediante una serie de Taylor , pero admite un desarrollo por la serie de Laurent.

Propiedad 1

     Si f(z) es continua en el anillo expresado por:

     entonces para z en ese anillo se expresa la serie de Laurent así:

     La gráfica representa el anillo de la serie de Laurent de una función.

Ejemplos:

     Hallar la serie de Laurent de:

     Hallar la serie de Laurent de:

CUARTA SEMANA ( 21 de diciembre - 27 de diciembre )

Examen Bimestral I

Feriado Navidad - Fin de Año

QUINTA SEMANA ( 28 de diciembre - 3 de enero )

Feriado Navidad - Fin de Año