PRIMERA SEMANA ( 2 de noviembre - 8 de noviembre )
Ejercicios aplicación sobre integrales de linea
SEGUNDA SEMANA ( 9 de noviembre - 15 de noviembre )
Conjunto Simplemente Conexo
Un conjunto es simplemente conexo cuando en todo su dominio no presenta hueco o restricciones.
Propiedad 6
Sea ɤ una curva suave o suave por intervalos de z1 a z2 en un dominio simplemente conexo.Si f(z) es una función analítica se cumple que:
F'(z) = f (z) ---> antiderivada, en el dominio D entonces:
∫ f (z) dz = F (z1) - F (z1)
ɤ
Integrales cerradas
∮ f (z) dz donde;ɤ
ɤ: es una curva suave y cerrada.
ɤ: es una curva suave cerrada si el punto inicial y final de la curva coinciden.
Curva simple en D
ɤ: es una curva simple si no presenta entre cruzamientos
Propiedad 1
∮ F (z) dz = 0ɤ
Si: f (z) es cuadrática en D.
D un dominio conexo o simplemente conexo.
ɤ una curva cerrada simple en D.
f (z) es analítica en D si el punto de restricción no pertenece a D.
Propiedad 2
∫ f (z1) dz = ∫ f (z2) dzɤ1 ɤ2
Si; f (z) en analítica en un conjunto simplemente conexo D.
entonces; la integral de línea es independiente de la trayectoria.
Propiedad 3 (Teorema de la fragmentación)
∮ f (z) dz = ∮ f (z) dzɤ Ω
Sea f (z) analítica en D, excepto en Z0; y sean ɤ , Ω curvas cerradas
simples que encierre a Z0.
Propiedad 4
f (z0) = [ 1/2πi ] * ∮ [ f (z) / ( z - z0) ] * dzɤ
Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D, sea ɤ una curva cerrada
simple que encierre a Z0.
Corolario:
∮ [ f (z) / ( z - z0) ] dz = 2πi f (z0) ---> caso particular de la propiedad 5, si n = 0.
ɤ
Propiedad 5
(n) n+1
f (z0) = [ 1/2πi ] * ∮ [ f (z) / ( z - z0) ] * dz
ɤ
Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D, sea ɤ una curva cerrada
simple que encierre a Z0; entonces f (z) tiene derivada en todos los
órdenes de Z0 y la n-ésima derivada de f (z0) es:
Corolario:
n+1 (n)
∮ [ f (z) / ( z - z0) ]dz = 2πi f (z0)
ɤ
TERCERA SEMANA ( 16 de noviembre - 22 de noviembre )
Evaluación 2 - I Bimestre
Sucesiones y series de Variable compleja
Sucesiones
Una sucesión de variable compleja es una función de los naturales en los complejos.f (n) = i^n
Las sucesiones se denotan:
{zn}
{j ^n} = {i^0, i^1, i^2, i^3,..., i^n}
Propiedades
1. Sean {zn} = xn =+ iyn , para cada entero positivo "n", y sea L = a + ib, entonces:lím {zn}= L => lím xn = a ^ lím yn = b
n -> ∞ n -> ∞ n -> ∞
2. Suponemos que {zn} --> L ^ {wn} --> K entonces:
lím [{zn} + {wn} ] = lím {zn} + lím {wn} = L+ K
n -> ∞ n -> ∞ n -> ∞
3. lím α *{zn} = α * lím {zn} = α * L ; α ϵ C
n -> ∞ n -> ∞
4. lím [{zn} * {wn} ] = lím {zn} * lím {wn} = L* K
n -> ∞ n -> ∞ n -> ∞
5. lím [{zn} / {wn} ] = lím {zn} / lím {wn} = L / K ; K ≠ 0
n -> ∞ n -> ∞ n -> ∞
Series
Una es la sume de n términos de una sucesión, entonces se la representa:w w
Σ zn => Σ i^n = i^0, i^1, i^2, i^3,..., i^w
n=0 n=0
Propiedades
Sea {zn} = xn =+ iyn , entonces:w w w
1. Σ zn converge si Σ xn converge ^ Σ yn converge
n=1 n=1 n=1
w w
2. Si Σ xn converge a "a" ^ Σ yn converge a "b", entonces:
n=1 n=1
w
Σ zn converge a " a + ib"
n=1
w
3. Σ zn converge entonces : {zn} => 0
n=1
En este caso se suele utilizar la propiedad equivalente:
w
lím {zn} ≠ 0 entonces Σ zn diverge
n -> ∞ n=1
CUARTA SEMANA ( 23 de noviembre - 29 de noviembre )
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Criterio del cociente ó criterio de la razón (D' Alembert)
Sea: L = lím | an+i / an | entonces si:
n -> ∞
∞
a. Si L < 1 entonces, Σ an converge.
n=0
∞
b. Si L > 1 entonces, Σ an diverge.
n=0
∞
c. Si L = 1 entonces, Σ an no se asegura.
n=0
∞
a. Si L < 1 entonces, Σ an converge.
n=0
∞
b. Si L > 1 entonces, Σ an diverge.
n=0
∞
c. Si L = 1 entonces, Σ an no se asegura.
n=0
Criterio de la raíz
Sea: L = lím ( an )^(1/n) entonces si:
n -> ∞
∞
a. Si L < 1 entonces, Σ an converge.
n=0
∞
b. Si L > 1 entonces, Σ an diverge.
n=0
∞
c. Si L = 1 entonces, Σ an no se asegura.
n=0
∞
a. Si L < 1 entonces, Σ an converge.
n=0
∞
b. Si L > 1 entonces, Σ an diverge.
n=0
∞
c. Si L = 1 entonces, Σ an no se asegura.
n=0
Criterio de la comparación
∞ ∞
Dadas dos series: Σ an y Σ bn ,ambas de términos positivos;
n=0 n=0
si, L = lím ( an / bn) entonces si:
n -> ∞
∞
a. Si L > 0 entonces, Σ an y Σ bn son convergentes o divergentes.
n=0
∞ ∞
b. Si L = 0 y, si Σ bn converge entonces; Σ an converge.
n=1 n=1
∞ ∞
b. Si L = ∞ y, si Σ bn diverge entonces; Σ an diverge.
n=1 n=1
∞
a. Si L > 0 entonces, Σ an y Σ bn son convergentes o divergentes.
n=0
∞ ∞
b. Si L = 0 y, si Σ bn converge entonces; Σ an converge.
n=1 n=1
∞ ∞
b. Si L = ∞ y, si Σ bn diverge entonces; Σ an diverge.
n=1 n=1
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