Octubre

PRIMERA SEMANA ( 28 de septiembre - 4 de octubre )

 

Introducción y bienvenida

     En esta clase  nuestra tutora en la materia de matemática avanzada, se presento y nos dio a conocer las reglas de juego a cerca del semestre.

Números complejos

     Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. Se los representa con la letra Z.

Formas de los números complejos

     Forma algebraica    z = a + bi

     Forma rectangular  z = (a , b)

     Forma polar            z = rθ

Operaciones fundamentales

     Adición               

     Sustracción              

     Multiplicación       

     División              

     Conjugado

Propiedades de la suma y diferencia

     Clausurativa

     Conmutativa

     Asociativa

     Existencia del inverso aditivo

     Existencia del elemento neutro

Propiedades del producto

     Clausurativa

     Conmutativa

     Asociativa

     Existencia del inverso multiplicativo

Propiedades del valor absoluto

     1. |Z1 * Z2| = |Z1|*|Z2|

     2. |Z1 / Z2| = |Z1| / |Z2| ; Z2 diferente de 0

     3. |Z1 + Z2| = |Z1| <= |Z2|

     4. |Z1 - Z2| = |Z1| >= |Z2|

SEGUNDA SEMANA ( 5 de octubre - 11 de octubre )

Forma trigonométrica de z

     z = r cos θ = i sen θ = r cisθ

     z = a + ib    ;   a = r / senθ    ;   b = r / cosθ    ;   r = |z|    ;   θ = arg (z) = arc tan (b/a)

Producto de la forma trigonométrica

     Z1 = r1 CiS θ1     ;     Z2 = r2 CiS θ2

     Z1 * Z2 = (r1 * r2) CiS (θ1 + θ2)

División de la forma trigonométrica

     Z1 = r1 CiS θ1     ;     Z2 = r2 CiS θ2

     Z1 / Z2 = (r1 / r2) CiS (θ1 - θ2)

Potencia de la forma trigonométrica (teorema de Moivre)

     Z = r CiS θ

     Z^n = (r^n) CiS (nθ)

Funciones de variable compleja

     z  --> w = f (z)

     w = f (z) = u + iv
     u = u (x , y)
     v = v (x, y)     funciones de variables reales

Límites de funciones de variables complejas

     z  --> w = f (z)

     lím f (z) = L <----> Ǝδ > 0 , ∀Ɛ > 0 / |f (z) - 1 | < Ɛ -> | Z - Z0 < δ
      z -> z0

TERCERA SEMANA ( 12 de octubre - 18 de octubre )

Teorema

     Sea f (z) = u (x,y) + i v (x,y)    ^    z = x + iy     ;     Z0 = X0  + i Y0     ;     W0 = U0  + i V0
     entonces:

     lím f (z) = W0          <---->         lím   u (x,y) = U0          ^          lím   v (x,y) = V0
      z -> z0                                             (x,y) -> (x0,y0)                                  (x,y) -> (x0,y0)

Propiedades de los límites

     Sea:  lím f (z) = L          ^        lím    g (z) = K      , entonces:
              z -> z0                                      z -> z0   

     1.   lím [ f (z) ± g (z) ]   =   lím    f (z)  +   lím    g (z)   =   L ± K
           z -> z0                                       z -> z0                   z -> z0

     2.   lím     α * f (z)   =   α * lím    f (z)   =   α * L              ;   α ϵ C
           z -> z0                                      z -> z0

     3.   lím [ f (z) * g (z) ]   =   lím    f (z)  *   lím    g (z)   =   L * K
           z -> z0                                      z -> z0                    z -> z0

     4.   lím [ f (z) / g (z) ]   =   lím    f(z)  /   lím    g (z)   =   L / K      ; K ≠ 0  ; g (z) ≠ 0
           z -> z0                                      z -> z0                z -> z0

Continuidad

     Sea: f: D ⊆ C  -->  C
     z  --> w = f (z)

     Se dice que f (z) es continua en D si y solo si:
     lím  f (z) = f (z0)
     z -> z0  

     1.   Ǝ f (z0)
     2.   Ǝ lím  f (z)
               z -> z0  
     3.   lím  f (z)  =  f (z0)
           z -> z0  

Tipos de discontinuidad

     1.  Evitable
          Si Ǝ lím  f (z)     ^    Ǝ! f (z0)      ∨     lím  f (z)     ≠    f (z0)    ; se puede redifinir f (z0)
                  z -> z0                                                         z -> z0 
     2.  Inevitable

          Si Ǝ! lím  f (z)   ; No se puede redifinir
                  z -> z0 

Derivadas

     f' (z)  =  lím    [ f (z) - f (z0) ] / [ z - z0 ]
                      z -> z0    

     f' (z)  =  lím    [ f (z + Δz ) - f (z) ] / [ Δz ]
                      Δz -> 0    

Exponenciales complejos o fórmula de Euler

     1.  exp ( iy ) = cos y  +  i sen y
     2.  exp (z) = exp (x) * [ cos y  +  i sen y ]
     3.  exp ( -iy) = cos y  -  i sen y
     4.  cos y  =  [ exp ( iy )  +  exp ( -iy ) ] / 2    ->    cos z  =  [ exp ( iz )  +  exp ( -iz ) ] / 2
     5.  sen y  =  [ exp ( iy )  -  exp ( -iy ) ] / [ 2i ]   ->   sen z  =  [ exp ( iz )  -  exp ( -iz ) ]/ [ 2i ]

Logaritmos complejos

     ln z  =  ln r  +  iθ       ∨        log z  =  ln |z| + iθ   valor principal del logaritmo complejo
     ln z  =  ln r  +  i (θ + 2*π*k)   valor general general del logaritmo complejo

CUARTA SEMANA ( 19 de octubre - 25 de octubre )

Evaluación 1 - I Bimestre

Logaritmos complejos

     z  =  r ( cos θ  +  i sen θ )
     z  =  r exp ( iθ )    Teorema exponencial
     ln z  =  ln r  +  iθ       ∨        log z  =  ln |z| + iθ    valor principal o básico
     ln z  =  ln r  +  i (θ + 2*π*k)   ; k ϵ Z    valor general general
     log z  =  ln ||z||  +  i [ arg (z)] + 2πk

Propiedades

     Sean z, w ϵ C ; entonces se cumple que:
     1.  ln ( z*w )  =  ln z  +   ln w

     2.  ln ( z / w )  =  ln z  -   ln w
     3.  ln ( z ^α )  =    α * ln z   ;    α ϵ C
     4.  ( z ^w )  =  exp ( w * ln z )

Parte de la corrección de la Evaluación 1 - I Bimestre

QUINTA SEMANA ( 26 de octubre - 1 de noviembre )

Ecuaciones de Cauchy - Rieman

     Sea: f: D ⊆ C  -->  C

                z  --> w = f (z)
     una función que se puede expresar:
               f (z) = u (x,y) + i v (x,y)
     y que tiene derivada entonces:
               δu / δx  =  δv / δy   ^    δu / δy  =  - δv / δx
     Si se cumplen estas condiciones, se dice que f (z) es analítica o molomorfa.

Funciones analíticas

     Sea f (z) = u (x,y) + i v (x,y)

     se dice que u (x,y)    ^     v (x,y) son funciones armónicas si se cumple:

         δ(δu) / δx(δx) + δ(δu) / δy(δy)  =  0   ^    δ(δv) / δx(δx) + δ(δv) / δy(δy)  =  0

Ecuaciones de Laplace

     ▽^2 u  =  0                   ▽^2 v  =  0 

     Eso se verifica si f (z) es igual a analítica

    { uxx + uyy  =  0

    { vxx + vyy  =  0

    Se llaman ecuaciones de Laplace en dos variables, que en física se las conoce como

    ECUACIÓN DE POTENCIAL.

Integración de funciones de variable compleja

     ∫  f (z) dz     Integral de Línea

     ɤ

     » Se evalúan similarmente a las integrales de dos variables.

     » En los complejos solo se definen las integrales de Cauchy y las derivadas de orden superior.

Integrales indefinidas

     Sea ɤ una curva representada por z (t) = x (t) + i y (t) , se dice que 

Integrales de línea

     Se define la integral:
                                       ∫  f (z) dz = F (z) + c 

     si y solo si: F'(z) = f (z)

Propiedades:

     1. Si  ɤ es una curva suave o suave por intervalos y f (x) es continua, entonces:

          Ǝ∫  f (z) dz

             ɤ

      Si Ǝ∫  f (z) dz     ^      Ǝ∫  g (z) dz ; entonces:

             ɤ                                ɤ

     2.  ∫  [ f (z) + g (z) ] dz   =   ∫  f (z) dz  +  ∫  g (z) dz

          ɤ                                             ɤ                       ɤ 

     3.  ∫  α * f (z) dz   =   α * ∫  f (z) dz  ; α ϵ C

          ɤ                                       ɤ

     4.  ∫  f (z) dz   =   - ∫  f (z) dz 

          -ɤ                           ɤ

     5.  Si ɤ es una curva suave o suave por intervalos por intervalos representada por z = z (t),

          para a ≤ t ≤ b , y f (z) es continua, entonces:

                                       b

               ∫  f (z) dz   =   ∫  f (z (t)) * z'(t) dt

              ɤ                       a